#1
Ik zie al wat de verwarring veroorzaakt. De verzamelingenleer die ik geleerd heb gekregen is de formele verzamelingenleer, de vervanger van de inutiatieve verzamelingenleer om Russel's paradox te vermijden. Het is dus nogal wiedes dat ik de paradox niet zag. :')Mananas zei:Iemand anders vroeg om de naam van mijn fb-page
En ja, je mist wel degelijk enkele fundamentele begrippen en inzichten deze keer.
Over de verzamelingenleer: het zou niet al die tijd bekend staan en nog steeds als 'de paradox van Russell' als het geen paradox was - verzamelingenleer wordt zelfs door leerkrachten Wiskunde vaak misbegrepen omdat de paradox die eruit volgt niet tot de wiskunde behoort maar tot de filosofische Mathematische-Logica. Je zult het dus verkeerd aangeleerd hebben gekregen, check it out online.
https://nl.wikipedia.org/wiki/Verzameli ... schiedenisDe volgende golf van opwinding in de verzamelingenleer kwam zo rond 1900, toen werd ontdekt dat de Cantoriaanse verzamelingenleer tot verschillende tegenstrijdigheden leidt, de zogenaamde antinomieën of paradoxen. Russell en Zermelo vonden onafhankelijk van elkaar de eenvoudigste en meest bekende paradox, de nu naar Russell vernoemde Russells paradox. Deze paradox gaat over "de verzameling van alle verzamelingen die geen lid zijn van zichzelf". Het is duidelijk dat deze verzameling geen lid kan zijn van zichzelf, en daarom een lid moet zijn van zichzelf! In 1899 had Cantor zichzelf de vraag gesteld: "Wat is het kardinaalgetal van de verzameling van alle verzamelingen?". Deze vraag leidde Cantor naar de gerelateerde paradox. Later heeft men zich gerealiseerd dat deze paradoxen niet louter verzamelingtheoretisch zijn, maar ook voorkomen in de logica. De zin "deze zin is onwaar" geeft aanleiding tot een soortgelijk probleem, want als deze zin waar is, moet hij tegelijkertijd "onwaar" zijn. Kurt Gödel maakte in 1931 van dit feit gebruik in zijn bewijs van zijn beroemde onvolledigheidsstelling.
Het momentum van de verzamelingenleer was van dien aard dat debat over de paradoxen niet heeft geleid tot de beëindiging van de verzamelingenleer. De werkzaamheden van Zermelo in 1908 en Fraenkel in 1922 resulteerden in de canonieke axiomatische verzamelingentheorie (ZFC), waarvan men gelooft dat deze vrij is van paradoxen. Het werk van analisten zoals Lebesgue heeft het grote wiskundige nut van de verzamelingenleer aangetoond. De axiomatische verzamelingenleer is in de twintigste eeuw sterk verweven geraakt met de structuur van de huidige wiskunde.
...
De verzamelingenleer kreeg al in het begin van de 20e eeuw de positie van basistheorie, een theorie die de basis voor het wiskundig bouwwerk vormde. Zo worden alle begrippen als natuurlijke getallen en functies gedefinieerd op basis van verzamelingen.
Initieel werd de theorie echter als controversieel beschouwd. In zijn oorspronkelijke versie bleek de theorie namelijk tot een aantal ongerijmdheden te leiden. Deze versie, die tegenwoordig de intuïtieve verzamelingenleer wordt genoemd, is later vervangen door de formele verzamelingenleer, die een iets strengere definitie van het begrip verzameling gebruikt.
Ik durf niet te claimen dat zijn stellingen niet kloppen hoor, ik probeer te begrijpen wat zijn stellingen exact zeggen. Deze tekst haal ik bijvoorbeeld van wikipedia.About Gödel: je misenterpreteert je quotes - de theorie van Gödel kan wel degelijk bewezen worden, je vergeet te denken in een meta-meta-taal.
Over de onvolledigheidsstellingen ben ik heel duidelijk geweest over de eind-conclusie. Het is zoals ik het zei: de Wiskunde is een zeer uitgebreid systeem, dus zeer onvolledig en inconsistent, ergo contradictorisch (Logische implicatie), vice versa is een zeer beknopt systeem meer consistent en meer volledig (omgekeerde evenredigheid).
https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6de ... s_theoremsThe first incompleteness theorem states that no consistent system of axioms whose theorems can be listed by an "effective procedure" (i.e., any sort of algorithm) is capable of proving all truths about the relations of the natural numbers (arithmetic). For any such system, there will always be statements about the natural numbers that are true, but that are unprovable within the system. The second incompleteness theorem, an extension of the first, shows that such a system cannot demonstrate its own consistency.
Ik zie hier nog steeds niet in hoe het onmogelijk is voor een consistente theorie om te bestaan, wél dat diezelfde theorie niet het bewijs kan leveren dat deze consistent is.
Sterker nog, Gödel gebruikt in zijn bewijs dat hij aan kan nemen dat een theorie consistent is.
https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6de ... nal_resultGödel demonstrated the incompleteness of the theory of Principia Mathematica, a particular theory of arithmetic, but a parallel demonstration could be given for any effective theory of a certain expressiveness. Gödel commented on this fact in the introduction to his paper, but restricted the proof to one system for concreteness. In modern statements of the theorem, it is common to state the effectiveness and expressiveness conditions as hypotheses for the incompleteness theorem, so that it is not limited to any particular formal theory. The terminology used to state these conditions was not yet developed in 1931 when Gödel published his results.
Gödel's original statement and proof of the incompleteness theorem requires the assumption that the theory is not just consistent but ω-consistent. A theory is ω-consistent if it is not ω-inconsistent, and is ω-inconsistent if there is a predicate P such that for every specific natural number m the theory proves ~P(m), and yet the theory also proves that there exists a natural number n such that P(n). That is, the theory says that a number with property P exists while denying that it has any specific value. The ω-consistency of a theory implies its consistency, but consistency does not imply ω-consistency. J. Barkley Rosser (1936) strengthened the incompleteness theorem by finding a variation of the proof (Rosser's trick) that only requires the theory to be consistent, rather than ω-consistent. This is mostly of technical interest, since all true formal theories of arithmetic (theories whose axioms are all true statements about natural numbers) are ω-consistent, and thus Gödel's theorem as originally stated applies to them. The stronger version of the incompleteness theorem that only assumes consistency, rather than ω-consistency, is now commonly known as Gödel's incompleteness theorem and as the Gödel–Rosser theorem.
https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6de ... s_theoremsThe second incompleteness theorem only shows that the consistency of certain theories cannot be proved from the axioms of those theories themselves. It does not show that the consistency cannot be proved from other (consistent) axioms. For example, the consistency of the Peano arithmetic can be proved in Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC), or in theories of arithmetic augmented with transfinite induction, as in Gentzen's consistency proof.
Hierin staat dat het wel mogelijk is om de correctheid van een theorie te bewijzen, maar wel met een andere theorie.
Ik zit op dit moment in (hopelijk) het laatste jaar van mijn bachelor Technische Informatica.Wat zijn je bronnen? En wat heb je eigenlijk gestudeerd?
Ik was nog niet verder gekomen dan de a priori correctheid van pure wiskunde (in prolegomena, dan) dus ik geloof je op je woord. Wat voor consequenties heeft dit?Verder: Kant heeft zelf toegegeven aan het einde van de 'Kritiek van de zuivere rede' (zijn belangrijkste werk) dat hij niet geslaagd is in wat hij wilde bereiken met zijn apodictische Logica - check it out online.
Grtz!![:)]()
En kun je me op redeneerfouten betrappen?